这一部分定理证明，结合丁同仁的《常微分方程》看即可。

史济怀老师视频课微分方程部分——

【资料图】

&6.n阶线性微分方程

定义：y(x)为未知函数，x为自变量，p1(x)，p2(x)，……，pn-1(x)，pn(x)f(x)在（a,b）连续——

n阶线性微分方程：形如——

n阶线性齐次方程：当f(x)=0，形如——

n阶线性非齐次方程：当f(x)≠0，形如——

Wronsky行列式——

定理（n解线性微分方程解的结构）：n解线性微分方程解的为其一个特解和其对应的齐次方程的通解之和。

&6.1n阶常系数线性齐次微分方程

定义：y(x)为未知函数，x为自变量，p1(x)，p2(x)，……，pn-1(x)，pn(x)为常数p1，p2，……，pn-1，pn，f(x)在（a,b）连续——

n阶常系数线性微分方程：形如——

n阶常系数线性齐次微分方程：当f(x)=0，形如——

n阶常系数线性齐次微分方程的特征方程——

定理：设n阶常系数线性微分方程的特征方程的n个单根（非重根）λ1，λ2，……，λn，则对应齐次方程的通解为

证明：

反证法——

引理：设变换y=ze^(αx)把常系数n阶线性齐次微分方程变成

对应特征方程为

如果λ=k是原常系数齐次方程特征方程的一个根，那么λ=k-α是上述齐次方程的一个根。

证明：

定理：设λ=k是原常系数线性齐次微分方程特征方程的一个m重根（m个相同的根），那么原常系数线性齐次微分方程除了e^(kx)这个解外，还有下面m-1个解

证明：

定理：假如 λ=α+βi为原常系数线性齐次微分方程特征方程的一个m重根（m个相同的根），那么原常系数线性齐次微分方程除了e^[(α+βi)x]这个解对应其他m-1个根外，还有下面e^[(α-βi)x]对应m个根，e^(αx)cosβx，e^(αx)sinβx对应的m个解。

&6.2n阶常系数线性非齐次微分方程

不使用常数变易法的3种情况：

情形一：当f(x)=Dn(x)——Dn(x)为关于x的n次多项式，即Dn(x)=a0+a1x+…+anx^n。

思路：

情形二：当f(x)=Dn(x)e^αx——Dn(x)为关于x的n次多项式，即Dn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α为实数。

思路：

情形三：当f(x)=Dn(x)(e^αx)sin βx或者f(x)=Dn(x)(e^αx)cos βx——Dn(x)为关于x的n次多项式，即Dn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α，β为实数。

&6.3欧拉（Euler）方程；

定义：一种可化成常系数线性微分方程的变系数线性微分方程，形如